Selamat datang pada blog carabelajarmatematika.com, pada artikel kali ini kita akan membahas mengenai Konsep Turunan Dalam Menggambar Kurva Polinom. Langsung saja kita bahas penjelasannya dibawah ini.
Grafik fungsi merupakan gambaran sebuah geometri dari sebuah fungsi. Adanya grafik tersebut, memudahkan kita dalam menganalisis nilai fungsi, jenis fungsi, dan lainnya. Untuk fungsi polinom itu sendiri yaitu memiliki derajat 1 (fungsi linear) dan fungsi polinom memiliki derajat 2 (fungsi kuadrat), cara untuk menggambarnya tidaklah terlalu rumit, hanya dengan beberapa langkah saja. Namun untuk menggambar fungsi polinom berderajat lebih dari 2, memerlukan bantuan konsep turunan. Konsep turunan yang digunakan untuk membantu menggambar fungsi polinom ini yaitu mengenai fungsi naik, fungsi turun, titik ekstrim, dan jenis ekstrim. Di bawah ini selengkapnya pembahasan tentang langkah-langkah menggambar grafik fungsi dengan bantuan konsep turunan.
Langkah 1 : Carilah titik-titik penting berupa titik potong terhadap sumbu X, titik potong terhadap sumbu Y, titik ekstrim, dan jenis dari titik ekstrim.
1. Titik potong grafik dengan sumbu-sumbu koordinat.
- Titik potong dengan sumbu X didapat jika y = 0.
- Titik potong dengan sumbu Y didapat jika x = 0.
2. Carilah turunan pertama dan turunan kedua dari fungsi f, yaitu f'(x) dan f”(x). Dari turunan pertama dapat dihasilkan :
- interval fungsi naik dan fungsi turun,
- titik ekstrim fungsi f.
Dari turunan kedua bisa didapatkan:
- interval fungsi cekung ke atas dan fungsi cekung ke bawah,
- titik belok fungsi.
Langkah 2 : Gambarlah titik-titik yang diperoleh dari langkah 1 pada koordinat kartesius.
Langkah 3 : Hubungkan titik-titik yang sudah digambar di koordinat kartesius dengan kurva halus dengan memperhatikan kapan kurva naik dan turun, kapan cekung ke atas, dan kapan kurva cekung ke bawah.
Contoh Soal :
Gambarlah sketsa kurva y = f(x) = 4x3 – 8x2 – 3x + 9.
Jawab :
Untuk menyelesaikannya, mari kita pakai langkah-langkah yang sudah dibahas di atas :
Langkah 1
Titik potong dengan sumbu Y, di perloeh apabila x = 0.
y = f(0) = 4(0)3– 8(0)2 – 3(0) + 9 = 9 . Maka Titik potongnya adalah (0,9)
Titik potong dengan sumbu X, diperoleh bila y = 0.
Berarti, 4x3 – 8x2 – 3x + 9 = 0 . Untuk mendapatkan nilai x, pakailah teorema faktor yang sudah dipelajari pada pokok bahasan polinom atau suku banyak. Maka akan didapat x = -1 atau x = 1,5. Maka demikian titik potong dengan sumbu X ialah (-1,0) dan (1,5;0)
Cari turunan pertama dan kedua.
f1(x) = 12x2 – 16x – 3
f11(x) = 24x – 16
Fungsi naik, fungsi turun, dan titik ekstrim.
Fungsi f naik bila f'(x) > 0
12×2 – 16x – 3 > 0
(2x-3) (6x+1) > 0
x < -1/6 atau x > 1,5
Fungsi f turun bila f'(x) < 0
12×2 – 16x – 3 < 0
(2x-3)(6x+1) < 0
-1/6 < x < 1,5
Titik ekstrim didapatkan apabila f'(x) = 0
12×2 – 16x – 3 = 0
(2x-3)(6x+1) = 0
x = -1/6 atau x = 1,5
x = -1/6 pada bentuk desimal dapat ditulis sebagai x = -0,17
Jenis stasioner bisa diperoleh dengan substitusi x ketika f'(x) = 0 ke f”(x).
f”(-1/6) = 24(-1/6) – 16 = -20 < 0
menurut uji turunan kedua, x = -1/6 memiliki nilai balik maksimum. Nilai balik maksimumnya didapatkan dengan substitusi nilai x ke fungsi awal .
f(-1/6) = 9 7/27 = 9,26
f”(1,5) = 24(1,5) – 16 = 20 > 0
menurut uji turunan kedua, x = 1,5 memiliki nilai balik minimum. Nilai balik minimumnya didapatkan dengan substitusi nilai x ke fungsi awal.
f(1,5) = 0
Kecekungan fungsi dan titik belok fungsi.
Fungsi f cekung ke atas bila f”(x) > 0
24x – 16 > 0
24x > 16
x > 2/3
Fungsi f cekung ke bawah bila f”(x) < 0
24x – 16 < 0
24x < 16
x < 2/3
Titik belok fungsi f didapatkan bila f”(x) = 0
24x – 16 = 0
24x = 16
x = 2/3
f(2/3)=4 17/27
Titik beloknya adalah (2/3,4 17/27)
Langkah 2 :
Gambarlah titik-titik yang didapatkan pada langkah 1 pada koordinat kartesius. Titik-titik tersebut yaitu sebagai berikut. :
(0,9), (-1,0), (1,5;0), (-1/6,9 7/27), dan (2/3,4 17/27)
Langkah 3 :
Hubungkan titik-titik yang sudah diletakan pada koordinat kartesius pada kurva halus dengan memperhatikan naik-turun dan kecekungannya, sehingga didapatkan grafik seperti dibawah ini :
Itulah pembahasan pada artikel kali ini mengenai Konsep Turunan Dalam Menggambar Kurva Polinom. Semoga dalam penjelasan tersebut dapat bermanfaat dan menambah ilmu kalian semua. Terima kasih sudah berkunjung ke blog kami.